Строго математический как пишется

строго математический

Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник. — М.: Русский язык . Б. З. Букчина, Л. П. Какалуцкая . 1998 .

Смотреть что такое “строго математический” в других словарях:

Математический сопроцессор — 80×287 в колодке на базовой плате персонального компьютера … Википедия

Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия

Вольф Христиан — (барон Wolf, чаще Wolff) знаменитый немецкий философ; род. в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника; изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию. Примечания его к сочинению Чирнгаузена (Tschirnhausen) Medicina… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Герца опыты — Теория электрических и магнитных явлений, созданная трудами лучших математиков первой половины настоящего столетия и до недавнего времени принимавшаяся почти всеми учеными, допускала в основе своей существование особых невесомых электрических и… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Вольф, Христиан — (барон Wolf, чаще Wolff) знаменитый немецкий философ; род. в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника; изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию. Примечания его к сочинению Чирнгаузена (Tschirnhausen) Medicina… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Вольф — (Христиан барон Wolf, чаще Wolff) знаменитый нем. философ,род. в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йенесначала богословие, потом математику и философию. Примечания его ксочинению Чирнгаузена (Tschirnhausen) Medicina… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Циклоидальный маятник — математический Маятник, который, совершая под действием силы тяжести колебания, описывает дугу циклоиды (см. в ст. Линия) с вертикальной осью и выпуклостью, обращенной вниз. Ц. м. можно осуществить, подвесив грузик В на нити длиной 4а и… … Большая советская энциклопедия

Университет — (от лат. universitas совокупность). В настоящее время с понятием У. соединяют представление о высшем учебном заведении, которое, имея целью свободное преподавание и развитие всех отраслей науки (universitas litterarum), независимо от их… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Александр II (часть 2, XIII-XIX) — XIII. Дела внутренние (1866—1871). 4 го апреля 1866 года, в четвертом часу дня, Император Александр, после обычной прогулки в Летнем саду, садился в коляску, когда неизвестный человек выстрелил в него из пистолета. В эту минуту, стоявший в… … Большая биографическая энциклопедия

МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Источник статьи: http://dic.academic.ru/dic.nsf/rus_orthography/85005/%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE

Как правильно пишется слово «математический»

Источник: Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В.В. Виноградова РАН (словарная база 2020)

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: реферативный — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «математический&raquo

Синонимы к слову «математический&raquo

Предложения со словом «математический&raquo

  • Она позволила исследователям создавать всё более сложные математические модели, максимально приближённые к реальности.

Цитаты из русской классики со словом «математический»

  • И я с трудом включил внимание только тогда, когда фонолектор перешел уже к основной теме: к нашей музыке, к математической композиции (математик — причина, музыка — следствие), к описанию недавно изобретенного музыкометра.

Сочетаемость слова «математический&raquo

Что (кто) бывает «математическим»

Значение слова «математический&raquo

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ , –ая, –ое. Прил. к математика. Математическая формула. Математический факультет. (Малый академический словарь, МАС)

Афоризмы русских писателей со словом «математический&raquo

  • Не такой требуется математик, который только в трудных выкладках искусен, но который в изобретениях и в доказательствах привыкнув к математической строгости, в натуре сокровенную правду точным и непоползновенным порядком вывесть умеет.

Отправить комментарий

Дополнительно

Значение слова «математический&raquo

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ , –ая, –ое. Прил. к математика. Математическая формула. Математический факультет.

Предложения со словом «математический&raquo

Она позволила исследователям создавать всё более сложные математические модели, максимально приближённые к реальности.

Снова и снова он жонглировал в голове сложными математическими формулами, звонил своим друзьям-трейдерам и сверялся с диаграммами, графиками и прогнозами погоды на экранах, просчитывая свои шансы.

Первоначально это делалось из любопытства, ради самоконтроля и вполне прагматичной задачи решения математических задач.

Источник статьи: http://kartaslov.ru/%D0%BA%D0%B0%D0%BA-%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE-%D0%BF%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9

Как правильно пишется слово «математика»

Источник: Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В.В. Виноградова РАН (словарная база 2020)

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: тета — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «математика&raquo

Синонимы к слову «математика&raquo

Предложения со словом «математика&raquo

Цитаты из русской классики со словом «математика»

  • — Папа, ведь и они были маленькими: Кювье, Бюффон, Лаплас, Биша? [Бюффон Жорж Луи Леклерк (1707–1788) — французский естествоиспытатель, выпустил при участии Л.Добантова многотомную «Естественную историю». — Лаплас Пьер Симон (1749–1827) — знаменитый французский математик, физик и астроном, автор «Аналитической теории вероятностей» (1812). — Биша Мари Франсуа Ксавье (1771–1802) — французский анатом, физиолог и врач.] — спрашивала Нюрочка задумчиво.

Сочетаемость слова «математика&raquo

Какой бывает «математика»

Значение слова «математика&raquo

МАТЕМА́ТИКА , -и, ж. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая математика. Элементарная математика. (Малый академический словарь, МАС)

Афоризмы русских писателей со словом «математика&raquo

  • Не секрет, что религия часто берет культуру на подозрение, да новообращенный и сам сплошь и рядом теряет интерес к искусству, чтению, культурным занятиям вообще. Если уж Паскаль ради веры забросил математику, а Гоголь — литературу, то что говорить о простых смертных.

Отправить комментарий

Дополнительно

Значение слова «математика&raquo

МАТЕМА́ТИКА , -и, ж. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая математика. Элементарная математика.

Предложения со словом «математика&raquo

– Учитель высшей математики. По дороге зайдём к нему на пару часиков. Будем решать задачи.

В прошлом году учитель математики написал на доске мудрёный пример с кучей корней и всякими формулами, ну прямо как в научной фантастике.

Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100.

Синонимы к слову «математика&raquo

Ассоциации к слову «математика&raquo

Сочетаемость слова «математика&raquo

Какой бывает «математика»

Морфология

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.

Источник статьи: http://kartaslov.ru/%D0%BA%D0%B0%D0%BA-%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE-%D0%BF%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Строго математический как пишется

Написание текста на том или ином языке предполагает следование определённым правилам, совокупность которых называется грамматикой.

Математика, в сущности, так же является языком. Поэтому при написании математических текстов так же необходимо следовать правилам «математической грамматики». (Под математическими текстами подразумеваются тексты, содержащие математические формулы).

В отличие от обычной грамматики, «математическая грамматика» в школе в явном виде не изучается, но знать её нужно для того, чтобы уметь правильно понимать и записывать хотя бы элементарные математические выражения.

Сегодня прикладная математика с её формулами часто используется физиками, инженерами, биологами, экономистами, финансистами, менеджерами, медиками, метеорологами и даже дизайнерами и искусствоведами.

Правила математической грамматики отличаются от тех правил записи математических выражений, которым учат в школе. Кстати говоря, в университетах не всегда на это обращают внимание. Поэтому у многих возникает впечатление, что математический текст можно оформлять произвольно, без каких-либо правил.

В результате получается, что специалист в области, скажем, экономики, менеджмента, бухгалтерии, техники или технологии не может правильно понять формулу, приведенную в какой-нибудь инструкции. Ну, а самостоятельно правильно записать простую формулу для него является неразрешимой проблемой.

Математическая лингвистика – математическая дисциплина, предметом которой является разработка формального аппарата для описания строения естественных и некоторых искусственных языков . Возникла в 50‑х гг. 20 в.; одним из главных стимулов появления М. л. послужила назревшая в языкознании потребность уточнения его основных понятий. Методы М. л. имеют много общего с методами математической логики — математической дисциплины, занимающейся изучением строения математических рассуж­де­ний, — и в особенности таких её разделов, как теория алгоритмов и теория автоматов. Широко исполь­зу­ют­ся в М. л. также алгебраические методы. М. л. разви­ва­ет­ся в тесном взаимо­дей­ствии с языкознанием . Иногда термин «М. л.» исполь­зу­ет­ся также для обозначения любых лингви­сти­че­ских исследований, в которых применяется какой-либо математи­че­ский аппарат.

Раздел Математической лингвистики , занимающий в ней центральное место, — теория формальных грамматик , начало которой было положено работами Н. Хомского. Она изучает способы описания закономерностей, характеризующих уже не отдельный текст, а всю совокупность правильных текстов того или иного языка. Эти закономерности описываются с помощью формальной грамматики — абстрактного «механизма», позволяющего с помощью едино­образ­ной процедуры получать правильные тексты данного языка вместе с описаниями их структуры.

Правила математической грамматики довольно просты:

1) В математических формулах используются только буквы латинского и греческого алфавитов.

2) Не применяйте без необходимости примесь латинских и греческих букв.

Основой математических формул является латиница. Греческие буквы используются в тех случаях, когда требуется в одной формуле отобразить принципиально разнородные математические объекты.

В школьной математике, как правило, каждый объект в формуле обозначается своей буквой. Это допустимо, т.к. в школьных задачах обычно «задействовано» небольшое количество объектов. Из школьного курса создаётся ошибочное впечатление, что в математике индексы используются лишь в формуле расчёта двух корней квадратного уравнения да в задачах на прогрессии.

В реальных же математических формулах приходится иметь дело с объектами, количество которых велико либо численно не задано. Для написания таких формул используются индексы. Индекс – это номер объекта в последовательности.

4) Правильно используйте штрихи, чёрточки, тильды.

Если в математическом тексте наряду с обычными буквами (x,y,z. ) используются буквы со штрихами (x’, x”, x”’. ), чёрточками ( ), тильдами (волнами) и крышечками ( ), то это означает, что для переменных величин x,y,z выбираются некоторые фиксированные значения.

Пример: ti – время опоздания на занятия i-го ученика. Можно записать, что ttt , где t и t – соответственно минимальное и максимальное время опоздания.

5) Не забывайте о синтаксисе.

Математический текст подчиняется правилам обычной грамматики – все синтаксические знаки (точки, запятые и пр.) должны быть расставлены, даже если они размещены между формулами или между формулой и обычным текстом.

Обязательно нужно нумеровать формулы, на которые вы ссылаетесь в тексте. Желательно также нумеровать абсолютно все формулы – другим людям или вам же, но в другое время, может понадобиться сослаться на любую формулу.

7) Помните об общепринятых обозначениях.

Мы уже отмечали, что для обозначения текущих значений индексов принято использовать буквы i,j,k; пределы изменений индексов обычно обозначаются через m,M,n,N. Переменные величины обозначают буквами x,y,z; постоянные – буквами a,b,c,d,f. Переменную, описывающую время, обозначают буквой t; предел изменения этой переменной – буквой T.

В каждой предметной области имеются свои традиции относительно обозначений. Так, мы знаем, что в геометрии через π обозначается отношение длины окружности к диаметру, и применять эту букву для обозначения других объектов противопоказано.

В то же время, экономисты часто используют π для обозначения цен – здесь это не вызывает недоразумений. Немало примеров на тему традиций в обозначениях вы можете найти в учебниках по физике – там у многих латинских и греческих букв есть своё строго определённое место.

8) Соблюдайте правила композиции математического текста.

При написании математических формул обычно применяют один из двух способов расположения материала в зависимости от того, вводится описание обозначений до или после формулы. Схематически это выглядит так:

Источник статьи: http://school-science.ru/11/7/46138

matematika

Образцы оформления заданий на уроках математики

В ходе работы на уроках математики возникают частные вопросы оформления отдельных заданий: решения задач, нахождения значения числовых выражений, уравнений, неравенств, выполнения гео­метрических заданий.

Рассмотрим примерные рекомендации по оформлению отдельных заданий младшими школьниками в тетрадях по математике.

Во-первых, необходимо на­учить младших школьников легко определять количество строк, которые следует пропускать.

Между работами — 4 клетки, вну­три работы между заданиями — 2 клетки, внутри заданий между дей­ствиями — 1 клетку (образец 1).

Требования к написанию цифр как в однозначных числах, так и в многозначных предъявля­ются единые. Каждая цифра пи­шется с наклоном в отдельной клетке, прислоняясь к её правой стороне. Особенно это требование актуально при выполнении дей­ствий с многозначными числами. Образцы написания цифр пред­ставлены в учебном наглядном по­собии «Демонстрационный набор письменных цифр и математичес­ких знаков».

Во II классе учащимся удобнее все буквы в тетрадях по математи­ке писать высотой в целую клетку (аналогично письму на уроках язы­ка). В III и IV классах высота букв при повышении скорости письма может уменьшаться до 2/3 высоты клетки.

После даты, слов Домашняя работа, Классная работа. Зада­ча точка не ставится. Слова При­меры, Уравнения, Неравенств, Математический диктант, Кон­трольный устный счёт в началь­ных классах не пишутся.

Как ученику II класса (именно в этом возрасте они начинают за­писывать дату выполнения рабо­ты) научиться определять место начала записи Даты? Например, можно договориться отсчитывать от начала страницы (или от по­лей) 10 полных клеток, а в 11-й начинать запись даты, тогда будет достигнуто единство оформления письменных записей и ученику легко будет расположить дату по­середине страницы.

Оформление математических диктантов может быть выполне­но разными способами. Учащиеся I класса пишут под диктовку чис­ла, учатся писать математические диктанты, записывая результаты в строку через запятую. Начиная со II класса результаты диктанта можно оформлять в строку или в столбики. Учащиеся должны быть научены фиксировать ответы по-разному. Перед математическим диктантом учитель оговаривает с учащимися способ записи ответов. При записи результатов математи­ческого диктанта в строку учащи­еся пишут каждый последующий результат через запятую. В случае отсутствия ответа

на месте его ученик ставит прочерк. В против­ном случае проверка результатов выполненного диктанта вызовет затруднения, как у учителя, так и учащихся (при самопроверке и при взаимопроверке). (Образец 2.)

Запись результатов матема­тического диктанта может быть выполнена в столбики. Для этого перед началом диктанта учитель сообщает классу количество за­даний предстоящего диктанта (10 или 12). Учащиеся до диктанта записывают половину порядко­вых номеров ответов (5 или 6) в первый столбик, а вторую полови­ну — во второй, отступив вправо от записанных номеров заданий первого столбика оговоренное количество клеток, например 10. Порядковые номера заданий за­писываются с круглой скобкой.

В ходе выполнения математиче­ского диктанта учащиеся записы­вают ответ рядом с порядковым номером. Ответы, в которых уча­щийся сомневается, могут быть им пропущены. Заполнение их воз­можно и при самопроверке. Перед тем как отдать работу на проверку учителю или однокласснику, уче­ник должен рядом с номерами не­выполненных заданий поставить прочерк. (Образец 3.)

В IV классе при изучении нуме­рации многозначных чисел фикса­ция результатов математического диктанта может производиться в один столбик. (Образец 4.)

В оформление задачи входит слово Задача, запись решения и ответа.

Слово Задача записывается с большой буквы посередине стро­ки. Ориентировочно необходимо отступить от левого края страни­цы 10 клеток. Если запись слова Задача располагается на той же странице, что и дата, то учащимся удобно провести по воздуху ли­нию от первой цифры даты вниз, так как первая буква слова будет расположена под первой цифрой даты. (См. образец 1.)

В I классе решение задачи запи­сывается в виде числового выраже­ния. Значение числового выраже­ния (ответ задачи) подчёркивается. Полный ответ задачи проговарива­ется устно. (Образец 5.)

Со II класса пишутся слова За­дача и Ответ. Второклассники учатся оформлять запись реше­ния составной задачи. При запи­си решения задачи по действиям каждое действие пишется с новой строки. В начале строки ставит­ся порядковый номер действия с круглой скобкой, отступается одна клетка и записывается действие. (Образец 6.)

Запись решения задачи мо­жет быть оформлена выражением. В этом случае порядковый номер в начале строки не ставится. (Об­разец 7.)

В III и IV классах решение мо­жет быть оформлено по действи­ям без пояснений, с полными или краткими пояснениями, с во­просами, с планом, а также вы­ражением. Если решение задачи записывается выражением, то нет необходимости делать пояснения после действия. Результат поясня­ется только в ответе.

Решение задачи по действи­ям с краткими пояснениями

оформляется следующим образом. Пояснения к каждому из действий формулируются кратко (словосоче­танием). Сразу после наименова­ния ставится тире, и с маленькой буквы записывается пояснение, в котором заключается основной смысл ответа на поставленный во­прос. (Образец 8.)

Решение задачи по действи­ям с полными пояснениями оформляется следующим образом. (Образец 9.)

Решение задачи с вопроса­ми предполагает постановку” во­просов к каждому из действий. Вопрос записывается с большой буквы с начала строки. После него ставится вопросительный знак, а затем с новой строки записыва­ется действие. Порядковый номер действия в этом случае ставится один раз перед вопросом. (Обра­зец 10.)

Решение этой же задачи можно оформить с планом. (Образец 11.)

При необходимости выполнить письменные вычисления реше­ние задачи записывается сразу в столбик. (Образец 12.)

Если решение задачи записы­вается выражением, при этом не­обходимо произвести письменные вычисления, они располагаются под выражением. (Образец 13.)

Наименование пишется по­сле каждого действия задачи или после выражения в скобках с ма­ленькой буквы. В записи наиме­нования допускаются сокращения (обязательно должно заканчивать­ся на согласный). После сокра­щения ставится точка, в случаях, если это сокращение не является общепринятым. Точка не ставится в наименованиях, обозначающих единицы измерения длины: мм, см, дм, м, км, единицы измере­ния веса: г, кг, т, ц, единицы из­мерения времени: суг, ч, мин, с.

Слово Ответ записывается с начала строки, после него ставит­ся двоеточие. После двоеточия на первом месте желательно записать число (результат решения задачи), а после него с_ маленькой буквы пояснение к нему. Ответ задачи может записываться как целыми словами, так и с использованием общепринятых сокращений (кило­метров — км, метров — м, кило­метров в час — км/ч и т. п.). От­вет записывается к каждой задаче.

В случае если задача решается несколькими способами, делает­ся пометка «1 способ, 2 способ» и ответ записывается один раз. Ес­ли решение задачи записано по действиям, а затем выражением, то ответ тоже записывается один раз. Если решение задачи выпол­нялось с полным пояснением, с записью вопросов по действиям, ответ может быть записан кратко. При этом записывается числовое значение и наименование либо число и словосочетание, отражающие ответ задачи. (См. образцы 9, 10, 11.) Если решение задачи за­писано выражением, по действиям с краткими пояснениями или без них, то ответ задачи должен быть полным (в виде числа и предложе­ния). (См. образцы 6, 7, 8, 12, 13.)

К задаче может быть выполне­на краткая запись. Она записыва­ется после слова Задача. Между строками пропускается одна клет­ка. Буквы и цифры пишутся в соот­ветствии с рассмотренными выше требованиями.

Запись нахождения значения математического выражения также оформляется единообразно. Если математическое выражение состоит из одного действия, кото­рое решается устно, ученик запи­сывает его в строку и рядом — его ответ. При записи нескольких таких выражений между столбиками ре­комендуется пропускать в сторону 3 клетки, а вниз между столбика­ми — 2. (Образец 14.)

Если математическое выраже­ние состоит из одного действия, и для его решения требуются письменные вычисления, то оно сразу записывается в столбик и вычисляется. В строке можно раз­местить несколько математических выражений с письменными вычис­лениями при условии, что вправо между ними необходимо пропу­скать не менее 3 клеток. (Обра­зец 15.)

При письменном умножении на трёхзначное число следует реко­мендовать учащимся размещать на одной строке только 2 приме­ра, так как при записи происходит значительный сдвиг влево. При не­обходимости на строке размеша­ется математическое выражение, а рядом проверка вычислений. (Об­разец 16.)

Учащийся вправе сам принять решение о рациональном разме­щении на странице выполненных заданий. К примеру, если необ­ходимо выполнить несколько при­меров на деление многозначных чисел и сделать к ним проверку, на одной строке можно разме­стить примеры на деление, а под ними проверку. В таких случа­ях рекомендуется отступать вниз 2 клетки. (Образец 17.)

Если математическое выраже­ние состоит из нескольких дей­ствий, решение которых пред­полагает устные вычисления, то учащийся сначала определяет порядок действий (его можно над­писать над выражением), затем производит устные вычисления и записывает ответ. Выполнять за­пись устных действий не нужно. (Образец 18.)

Если математическое выраже­ние состоит из нескольких дей­ствий, решение которых предпо­лагает письменные вычисления, то сначала оно записывается в строку. Определяется порядок выполнения действий. Затем каждое действие записывается под выражением и выполняется. Полученный конечный результат записывается в первоначальную запись после знака «равно». (Об­разец 19.)

Решение простейшего урав­нения записывается в столбик: само уравнение, способ нахож­дения неизвестного, результат вычисления (значение неизвест­ного), проверка решения уравне­ния. Можно расположить реше­ние двух уравнений в 2 столбика. При этом между уравнениями в сторону необходимо отступить 3 клетки. Слова Решение

и Про­верка, которые используются в

образце оформления уравнения на страницах учебника, в тетрадях учащимися не записываются. (Об­разец 20.)

Решение уравнений в два дей­ствия также записывается в стол­бик. Расположение двух таких уравнений также допустимо на одной строке при условии, что их решение не требует письменных вычислений. (Образец 21.)

Если при решении уравнения необходимо выполнять письмен­ные действия с многозначными числами, их следует располагать справа от записи решения уравне­ния. (Образец 22.)

Сравнение чисел, выраже­ний, величин. При сравнении двух чисел они записываются на строке с интервалом в одну клетку. В ней учащийся ставит знак. (Об­разец 23.)

При сравнении многозначных чисел учащийся производит срав­нение поразрядно. Достаточно об­ратить внимание на различающие­ся цифры в разрядах, начиная с высшего, подчеркнуть их. Во вто­рой строке можно записать только те цифры, которыми различаются числа. Это будет основанием для сравнения чисел. (Образец 24.)

Если число необходимо срав­нить с выражением, то в записи между ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значения выражения и сопоставления его с числом. (Образец 25.)

Если необходимо сравнить два выражения, то в записи меж­ду ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значений обоих выражений. Найденные значения выражений целесообразно запи­сать на следующей строке и после их сопоставления поставить знак сравнения между ними, а затем и на верхней строке в исходном вы­ражении. (Образец 26.)

При сравнении величин об­ращается внимание на единицы их измерения. Если величины вы­ражены в одинаковых единицах измерения, то сравнение произ­водится так же, как и сравнение чисел. Знак ставится между ве­личинами после установления их равенства или неравенства. (Об­разец 27.)

Если сравниваются величины, выраженные в разных единицах измерения, необходимо оценить возможность их сравнения без приведения их к единым едини­цам измерения; если это возмож­но, поставить требующийся знак. (Образец 28.)

При сравнении величин, вы­раженных в разных единицах из­мерения, чаще всего обязатель­ным условием является приведе­ние их к одинаковым единицам (меньшим или большим). Запись лучше зафиксировать на следую­щей строке. После сопоставления преобразованных величин мож­но поставить знак равенства или неравенства и затем перенести его в исходное выражение. (Об­разец 29.)

Задания геометрического характера могут включать толь­ко вычерчивание геометрических фигур, только нахождение параме­тров геометрических фигур, либо задание на нахождение параме­тров и вычерчивание фигур.

Если задание предполагает только вычерчивание фигуры (фи­гур), от предыдущего задания от­ступают две клетки и чертят за­данную геометрическую фигуру.

Если задание предполагает только нахождение параметров геометрической фигуры, то ученик должен оформить выполнение за­дания как решение задачи: слово Задача, решение (нахождение па­раметров геометрической фигуры), ответ. Если в задаче не требуется вычерчивание фигуры, этого и не нужно делать. (Образец 30.)

Если задание предполагает нахождение параметров и вычер­чивание фигуры, то оформляется это тоже как задача. Ученик дол­жен привыкнуть к тому, что любые вычисления (даже устные) при нахождении параметров должны быть зафиксированы письменно. Сначала проводятся вычисления, затем вычерчивается фигура с полученными данными. (Обра­зец 31.)

В задании может быть задана длина первого отрезка. Второй и третий отрезки необходимо найти, а затем начертить. В таком случае ребёнку удобно начертить данный отрезок, вычислить размер второ­го отрезка (с записью действия), начертить полученный отрезок, за­тем найти длину третьего отрезка (с записью действия) и тогда его начертить. (Образец 32.)

Это же задание учащийся может оформить иначе. (Обра­зец 33.)

Если к заданию было записа­но слово Задача, значит, к нему предполагается и Ответ.

Если необходимо произвести сравнение отрезков, значит, за­ писывается слово Задача, после вычерчивания отрезков записыва­ется математическое действие, с помощью которого производилось сравнение (вычитание, деление). Завершается выполнение задания записью ответа.

Отметим некоторые особенно­сти вычерчивания отрезков.

Чертим отрезки, отступая от левого края страницы 1 полную клетку.

Все отрезки необходимо чертить друг под другом, при этом их начальные точки должны на­ходиться на одном расстоянии от левого края страницы.

Пропуски между отрезками вниз составляют 1 клетку.

Края отрезков отмечаются небольшими штрихами.

Нахождение значения выра­жения с переменной записывает­ся следующим образом. (Обра­зец 34.)

Требования к оформлению контрольных работ. Оформле­ние их производится так же, как и классных работ. Исправления делаются в случае необходимости аккуратно. Краткая запись к зада­че, вопросы, пояснения, которые помогают при обучении решению задач, в контрольной работе не требуются, так как их использо­вание часто влечёт множество ор­фографических ошибок, не отра­жающих реальные математические знания детей. Формулировки зада­ний контрольной работы учащими­ся не переписываются в тетрадь. Ставится лишь порядковый номер выполняемого задания.

Порядок выполнения заданий контрольной работы учащийся мо­жет выбрать сам. Записывая ре­шения заданий, он должен ставить тот порядковый номер задания, под которым оно стоит в контроль­ной работе. (Образец 36.)

Хочется отметить, что далеко не все частные случаи оформ­ления записей по математике удалось осветить в статье. Кро­ме того, прописанные в данной статье рекомендации являются примерными. Если учителем, ме­тодическим объединением учите­лей наработаны более рациональ­ные приёмы обучения учащихся оформлению записей в тетрадях по математике без нарушения общепринятых норм, они имеют право внедрять их в свою деятель­ность. Важным остаётся требо­вание единообразия оформле­ния записей всеми учащимися.

Работа по формированию у младших школьников культуры оформления записей в тетрадях по математике кропотливая, тре­бует терпения. Однако необходи­мо помнить, что эти условности, используемые школьниками, не отражают математической под­готовки учащихся, поэтому не следует строго наказывать уча­щихся за то, что кто-то из них пропустил не 10, а 11 клеток при записи даты или допустил и прочие отклонения. Важно, что­бы записи были рациональными, единообразными, экономичными, лаконичными и при этом эстетично оформленными.

Н. Л. Ковалевская, учитель высшей категории, методист высшей категории,

г. Минск//Пачатковае навучанне: сям’я, дзіцячы сад, школа, 2012 г., № 10, стр. 5-12

Источник статьи: http://studfile.net/preview/4294234/

Математический словарь

Оглавление

Абсцисса (латинское слово abscissa – «отрезанная»). Заимствовано из французского языка в начале XIX века Франц. abscisse – из латермин Это одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой x. В современном смысле термин употреблён впервые немецким ученым Готфридом Лейбницем (в 1675 году).

Автоковариация (случайного процесса X(t)). Ковариация X(t) и X(t+h)

Аддитивность (латинское слово additivus – «прибавляемый»). Свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части.

Адъюнкта (латинское слово adjunctus – «присоединенный»). Это то же, что и алгебраическое дополнение.

Аксиома (греческое слово axios- ценный; axioma – «принятие положения», «почет», «уважение», «авторитет»). В рус.яз. – с Петровских времен. Это основное положение, самоочевидный принцип. Впервые термин встречается у Аристотеля. Использовался в книгах Евклида «Начала». Большую роль сыграли работы древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению величин. Вклад в аксиоматику внесли Лобачевский, Паш, Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии был указан немецким математиком Гильбертом на рубеже 19 и 20 вв.

Аксонометрия (от греческие слова akon – «ось» и metrio – «измеряю»). Это один из способов изображения пространственных фигур на плоскости.

Алгебра (араб. слово «ал-джебр». Заимствовано в XVII веке из польск. яз.). Это часть математики, развивающаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Термин впервые появляется у выдающегося среднеазиатского математика и астронома 11 века Мухам меда бен-Мусы ал-Хорезми.

Анализ (греческое слово analozis – «решение», «разрешение»). Термин «аналитическая» восходит к Виету, который отвергал слово «алгебра» как варварское, заменяя его словом «анализ».

Аналогия (греческое слово analogia – «соответствие», «сходство»). Это умозаключение по сходству частных свойств, имеющихся у двух математических понятий.

Антилогарифмлатермин слово nummerus – «число»). Это число, которое имеет данное табличное значение логарифма, обозначается буквой N.

Антье (французское слово entiere – «целый»). Это то же, что целая часть действительного числа.

Апофема (греческое слово apothema,apo – «от», «из»; thema – «приложенное», «поставленное»).

1.В правильном многоугольнике апофема – отрезок перпендикуляра, опущенного из его центра на любую из его сторон, а также его длина.

2.В правильной пирамиде апофема – высота любой его боковой грани.

3.В правильной усеченной пирамиде апофема – высота любой ее боковой грани.

Аппликата (латинское слово applicata – «приложенная»). Это одна из декартовых координат точки в пространстве, обычно третья, обозначаемая буквой Z.

Аппроксимация (латинское слово approximo – «приближаюсь»). Замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Аргумент функции (латинское слово argumentum – «предмет», «знак»). Это независимая переменная величина, по значениям которой определяют значения функции.

Арифметика (греческое слово arithmos – «число»). Это наука, изучающая действия над числами. Арифметика возникла в странах Древнего Востока, Вавилона, Китае, Индии, Египте. Особый вклад внесли: Анаксагор и Зенон, Евклид, Эратосфен, Диофант, Пифагор, Леонардо Пизанский (Фибоначчи) и др.

Арктангенс, Арксинус (приставка «арк»- латинское слово arcus – «лук», «дуга»). Arcsin и arctg появляются в 1772 году в работах венского математика Шеффера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, но который употреблял другую символику.

Асимметрия (греческое слово asymmetria – «несоразмерность»). Это отсутствие или нарушение симметрии.

Асимптота (греческое слово asymptotes – «несовпадающий»). Это прямая, к которой неограниченно приближаются точки некоторой кривой по мере того, как эти точки удаляются в бесконечность.

Астроида (греческое слово astron – «звезда»). Алгебраическая кривая.

Ассоциативность (латинское слово associatio – «соединение»). Сочетательный закон чисел. Термин введен Уильямом Гамильтоном (в 1843).

Биллион (французское слово billion, или миллиард – milliard). Это тысяча миллионов, число изображаемое единицей с 9 нулями, термине. число 10 9 . В некоторых странах биллионом называют число, равное 10 12.

Бином латермин слова bi – «двойной», nomen – «имя». Это сумма или разность двух чисел или алгебраических выражений, называемых членами бинома.

Биссектриса (латермин слова bis – «дважды» и sectrix –«секущая»). Заимствовано В XIX века из французского языка где bissectrice – восходит к латинское словосочетанию. Это прямая, проходящая через вершину угла и делящая его пополам.

Вектор (латинское слово vector – «несущий», «носитель»). Это направленный отрезок прямой, у которой один конец называют началом вектора, другой конец – концом вектора. Этот термин ввел ирландский ученый У. Гамильтон (в 1845).

Вертикальные углы (латермин слова verticalis – «вершинный»). Это пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Гексаэдр (греческие слова geks – «шесть» и edra – «грань»). Это шестигранник. Этот термин приписывают древнегреческому ученому Паппу Александрийскому (3 век).

Геометрия (греческие слова geо – «Земля» и metreo – «измеряю»). Др.-рус. Заимствовано из греч.яз. Часть математики, изучающая пространственные отношения и формы. Термин появился в 5 веке до нашей эры в Египте, Вавилоне.

Гипербола (греческое слово hyperballo – «прохожу через что-либо»). Заимствовано в XVII веке из латыни Это незамкнутая кривая из двух неограниченно простирающихся ветвей. Терминввел древнегреческий ученый Апполоний Пермский.

Гипотенуза (греческое слово gyipotenusa – «стягивающая»). Заимствовано из латыни в XVII веке, в котором hypotenusa – от греч. сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Древнегреческий ученый Евклид (3 век до нашей эры) вместо этого термина писал, «сторона, которая стягивает прямой угол».

Гипоциклоида (греческое слово gipo – «под», «внизу»). Кривая, которую при этом описывает точка окружности.

Гониометрия (латинское слово gonio – «угол»). Это учение о «тригонометрических» функциях. Однако это название не привилось.

Гомотетия (греческое слово homos- «равный», «одинаковый», thetos – «расположенный»). Это расположение подобных между собой фигур, при котором прямые, соединяющие соответствующие друг другу точки фигур, пересекаются в одной и той же точке, называемой центром гомотетии.

Градус (латинское слово gradus – «шаг», «ступень»). Единица измерения плоского угла, равная 1/90 части прямого угла. Измерение углов в градусах появилось более 3 лет назад в Вавилоне. Обозначения, напоминающие современные, использовались древнегреческими ученым Птолемеем.

График (греческое слово graphikos- «начертанный»). Это график функции – кривая на плоскости, изображаемая зависимость функции от аргумента.

Дедукция (латинское слово deductio-«выведение»). Это форма мышления, посредством которой утверждение выводится чисто логически (по правилам логики) из некоторых данных утверждений – посылок.

Деференты (латинское слово defero-«несу», «перемещаю»). Это окружность, по которой вращаются эпициклоиды каждой планеты. У Птолемея планеты вращаются по окружностям – эпициклам, а центры эпициклов каждой планеты вращаются вокруг Земли по большим окружностям – деферентам.

Диагональ (греческое слово dia – «через» и gonium – «угол»). Это отрезок прямой, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне. Термин встречается у древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры).

Диаметр (греческое слово diametros – «поперечник», «насквозь», «измеряющий» и слово dia – «между», «сквозь»). Термин «деление» в русском языке впервые встречаются у Леонтия Филлиповича Магницкого .

Директриса (латинское слово directrix – «направляющий»).

Дискретность (латинское слово discretus – «разделенный», «прерывистый»). Это прерывность; противопоставляется непрерывности.

Дискриминант (латинское слово discriminans- «различающий», «разделяющий»). Это составленное из величин, определенных заданную функцию, выражение, обращением которого в нуль характеризуется то или иное отклонение функции от нормы.

Дистрибутивность (латинское слово distributivus – «распределительный»). Распределительный закон, связывающий сложение и умножение чисел. Термин ввел франц. ученый Ф. Сервуа (в 1815 году).

Дифференциал (латинское слово differento- «разность»). Это одно из основных понятий математического анализа. Этот термин встречается у немецкого ученого Г. Лейбница в 1675 г. (опубликовано в 1684году).

Дихотомия (греческое слово dichotomia – «разделение надвое»). Способ классификации.

Додекаэдр (греческие слова dodeka – «двенадцать» и edra – «основание»). Это один из пяти правильных многогранников. Термин впервые встречается у древнегреческого ученого Теэтет (4 век до нашей эры).

Знаменатель – число, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Впервые встречается у византийского ученого Максима Плануда (конец XIII века).

Изоморфизм (греческие слова isos – «равный» и morfe – «вид», «форма»). Это понятие современной математики, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. Термин был введен в середине XVII века.

Икосаэдр (греческие слова eicosi – «двадцать» и edra – основание). Один из пяти правильных многогранников; имеет 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин. Термин дан Теэтетом, который и открыл его (4 век до нашей эры).

Инвариантность (латермин слова in – «отрицание» и varians – «изменяющийся»). Это неизменность какой-либо величины по отношению к преобразованиям координатермин термин введен английским Дж. Сильвестром (в 1851).

Индукция (латинское слово inductio – «наведение»). Один из методов доказательства математических утверждений. Этот метод впервые появляется у Паскаля.

Индекс (латинское слово index – «указатель». Заимствовано в начале XVIII в. из латыни). Числовой или буквенный указатель, которым снабжаются математические выражения для того, чтобы отличать их друг от друга.

Интеграл (латинское слово integro – «восстанавливать» или integer – «целый»). Заимствовано во второй половине XVIII в. из французского языка на базе латермин integralis – «целый», «полный». Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать функции по их производным. Обычно эти концепции интеграла связывают с Ньютоном и Лейбницем. Впервые это слово употребил в печати швейцарский Ученый Якоб Бернулли (в 1690 году). Знак ∫ – стилизованная буква S от латермин слова summa – «сумма». Впервые появился у Готфрида Вильгельма Лейбница.

Интервал (латинское слово intervallum – «промежуток», «расстояние»). Множество действительных чисел, удовлетворяющее неравенству a

Источник статьи: http://www.andreyolegovich.ru/edu/mathematics/mathdict.php

Математика

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов [1] . Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов [2] . Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы [3] .

Содержание

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós), первоначально означающего восприимчивый, успевающий [4] , позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), на латыни ars mathematica, означает искусство математики.

В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ [7] , данное А. Н. Колмогоровым:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов [10] .

Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований [11] .

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным [12] .

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

  1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
  2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
  3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
  4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при 3″ border=”0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить] . Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным». [17] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости. [18]

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа Кватернионы
Числовые системы
Счётные
множества
Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа
и их расширения
Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другие
числовые системы
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Преобразования

Арифметика Дифференциальное и интегральное исчисление Векторный анализ Анализ
Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Структуры

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

Математическая логика Теория вычислимости Криптография Теория графов

Коды в системах классификации знаний

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

Источник статьи: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/750

Высшая математика

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «высшая математика»

Лекции подготовлены для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета « высшая математика ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Высшая математика — курс обучения в средних и высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ. Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики. Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам. wikipedia.org/wiki/Высшая_математика

Введение в высшую математику

Онлайн учебник содержит разделы курса «Высшая математика»: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, элементы высшей алгебры, соответствующие программе для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Высшая математика».

  1. В линейной алгебре изучаются внешне различные объекты: системы линейных уравнений, матрицы, арифметические пространства и линейные операторы в этих пространствах, квадратичные формы. Несмотря на внешнее различие, эти объекты тесно связаны между собой. Целью изучения данной темы и является формирование представлений об этих важных и имеющих многочисленные приложения объектах и их взаимосвязях.
  2. В векторной алгебре изучаются геометрические векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, линейная зависимость и независимость системы векторов, взаимное расположение векторов, понятия базиса и декартовой системы координат.
  3. Аналитическая геометрия занимается изучением линий на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве с использованием понятий вектора и координат. Рассматриваются различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых второго порядка и взаимное расположение прямых и плоскостей.
  4. В дифференциальном исчислении функции одной переменной изучаются понятия производной и дифференциала и их применения при исследовании функций.
  5. В интегральном исчислении функции одной переменной изучаются понятия первообразной, неопределенного и определенного интеграла, с геометрическими и механическими приложениями определенного интеграла.
  6. В теории рядов изучаются понятия решения любых корректно поставленных задач с достаточной для практического использования точностью.
  7. В численных (вычислительных) методах изучаются методы и понятия решения математических задач в численном виде.

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений. Развитие последней привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. В нашем курсе мы будем рассматривать два ключевых аспекта линейной алгебры: теорию матриц и определителей.

Идея введения определителей восходит к известному немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716), чей математический гений безграничен и чье имя еще не раз будет упомянуто нами. Лейбниц пришел к определителям при решении систем линейных уравнений в 1678 году. Впервые он сообщил о своем новом методе решения систем в 1693 году в письме к Гийому Лопиталю. В одном из следующих писем Лейбниц писал: «На мой взгляд, это одно из лучших открытий в анализе». К сожалению, Лейбницем в 1700 году был опубликован лишь метод обозначения коэффициентов без каких-либо практических приложений и выводов, поэтому открытие определителей прошло практически незамеченным.

В 1750 году определители были вновь изобретены женевским математиком Крамером, при этом Крамер употребил очень простые и понятные названия — «строки» и «столбцы» определителя, которые сразу же вошли в обиход. Метод Крамера был замечен и очень скоро стал основной частью школьной программы.

Первое исследование, посвященное определителям, было опубликовано французским математиком Вандермондом в 1772 году. Он впервые изложил цельную теорию, ему принадлежат многие классические результаты (например, условие равенства определителя нулю).

Первые полные изложения теории принадлежат Бине и французскому математику Огюстену Коши (1789-1857). Именно Коши ввел в употребление термин «детерминант» (от лат. — «ограничивать», «определять») или «определитель». Бине и Коши одновременно занялись теорией определителей, и, естественно, получили некоторые общие результаты. Во избежание споров о приоритете, они договорились сделать доклады в Академии Наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно (1812 год). Коши посвятил теории определителей еще 14 мемуаров. Именно он совсем близко подошел к современному обозначению элементов определителя, употребляя запись . Считают, что именно Коши превратил теорию определителей в самостоятельную дисциплину, оторвав ее от линейных уравнений.

Следующий этап в тридцатых-сороковых годах XIX века составили 30 работ Якоби, среди которых завершающая статья «О построении и свойствах определителей». Якоби ввел в рассмотрение функциональные определители и сделал их методом исследования в математическом анализе. Ему и Коши принадлежит термин «определитель -ro порядка». Но на этом математики не остановились: они стали рассматривать бесконечные определители (Котерич в 1770 г., Жюль Пуанкаре (1854-1912) и Кох в 1885).

Ко второй половине XIX века, казалось, не осталось такого раздела математики, куда бы не проникли определители. Но задача, породившая их: в каких случаях система линейных уравнений имеет решения, и если имеет, то сколько их? — еще не была решена. Такое исследование было проведено немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823-1891) и изложено им на лекциях в 1864 году. Что касается методов вычисления определителей, то один из них — метод треугольников — придумал страсбургский профессор Саррюс. Другой основан на свойстве определителя, подмеченном Якоби в 1841 году.

Матрицы возникли в середине XIX века одновременно в исследованиях нескольких ученых. Английский математик Артур Кэли (1821-1895) открыл, что систему чисел можно рассматривать как единый математический объект, над которым могут производиться алгебраические действия. Идеи матричного исчисления развивали с 1843 года Кэли, Сильвестр, Лагерр (именно в его статье «Об исчислении линейных систем» матрицы трактуются почти в современной форме), Фробениус (пришел к теории квадратных матриц). Все эти исследования в конце XIX века слились в единую теорию матриц, к изучению которой мы и приступаем.

Понятие матрицы. Операции над матрицами

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определители. Свойства определителей

Определитель — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Обратная матрица. Ранг матрицы

Обратная матрица — это такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Элементы аналитической геометрии

Геометрия — одна из наиболее древних и ранее других систематизированная ветвь математики. Еще древнегреческие математики изучали различные кривые и подразделяли их на «плоские» (прямая, окружность), «телесные» (определяемые сечением тел — эллипс, парабола, гипербола) и линейные (кривые, определяемые кинематически). Но единых методов решения геометрических задач, связанных с данными кривыми, не существовало. Найти такие методы с целью применения их к изучению важных для практики линий различной формы и была призвана аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия позволила применять к решению задач не только геометрические модели, тесно связанные с графическим изображением, но и модели аналитические, позволяющие задать любую линию или поверхность с помощью уравнения.

Главным в становлении аналитической геометрии послужило создание координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значение. Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (3-2 в. до н.э.), заложившего основы теории плоских сечений конуса. Он исследовал их методами алгебры, поэтому может считаться одним из предвестников аналитической геометрии.

Систематическое развитие координатный метод получил в первой половине XVII века в работах французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В 1636 году Ферма написал статью «Введение в изучение плоских и телесных мест». Он выбирал косоугольную систему координат и в ней показывал, что кривая, задающаяся квадратным уравнением, есть коническое сечение — эллипс, парабола или гипербола. Но это произведение долго оставалось в рукописи и не нашло широкого распространения.

Опубликование в 1637 году «Геометрии» Декарта считается датой рождения аналитической геометрии благодаря использованию координатного метода. В «Геометрии» содержалось много нововведений. Именно Декарт стал обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (, , ), а коэффициенты — первыми (). Он также ввел привычную нам запись степеней: . Но Декарт и Ферма рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был впервые применен Леонардом Эйлером (1707-1783).

Что же касается понятия «вектора», то для математики оно относительно новое. К середине XIX века оно возникает одновременно в трудах нескольких ученых. Первое векторное исчисление на плоскости развил итальянский ученый Беллавитис (1835), в этом исчислении объектами служили отрезки. В это же время получили известность работы Аргана и Весселя о геометрической интерпретации комплексных чисел. Именно Арган обозначил направленный отрезок черточкой над буквой и ввел понятие «модуля» (от лат. — мера).

Сам термин «вектор» (от лат. — несущий) впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805-1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. В созданных Гамильтоном кватернионах необходимо было различать скалярную и векторную часть. Поэтому Гамильтону пришлось ввести такие термины, как «скаляр» (от лат. — шкала, лестница), «скалярное произведение». Общепринятые ныне векторы также ввел Гамильтон в 1853 году. Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Грассман ввел единичные векторы () и представление вектора в виде: .

Англичанин Уильям Клиффорд (1845-1879) сумел объединить эти два подхода в рамках общей теории. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Итак, аналитическая геометрия — раздел математики, в котором изучение геометрических объектов (векторов, прямых, плоскостей, кривых, поверхностей) проводится при помощи их аналитических моделей.

Векторы. Операции над векторами. Координаты вектора

Вектор — это направленный отрезок с начальной и конечной точкой. Его можно перемещать параллельно самому себе.

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости — это одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Основы математического анализа

Математическим анализом называют систему дисциплин, объединенных следующими характерными чертами. Предметом их изучения являются количественные соотношения окружающего мира (в отличие от геометрических дисциплин, занимающихся его пространственными свойствами). Эти соотношения выражаются при помощи чисел, как и в алгебре. Но в алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (преобразование выражений, уравнения — они характеризуют состояние), а в математическом анализе — переменные величины, характеризующие процессы. В основе изучения зависимости между переменными величинами лежит понятие функции.

Зачатки методов математического анализа можно встретить еще у древнегреческих математиков. Так, Архимед (287-212 гг. до н.э.) при вычислении площадей некоторых фигур и при определении объема шара по существу использовал интегральное исчисление, хотя, естественно, не знал его общих методов. Систематическое развитие эти методы получили в XVII веке. Одним из основателей математического анализа стал английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727). Исследования в области механики привели его к проблемам дифференциального и интегрального исчисления. Одновременно с Ньютоном проблемами анализа занимался и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Оба этих великих ученых не только завершили создание дифференциального и интегрального исчисления (получившего название анализа бесконечно малых величин), но и заложили основы учения о рядах и дифференциальных уравнениях.

Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия во многом были предопределены великим открытиям Ньютона и Лейбница. В XVIII веке большой вклад в развитие математического анализа внес швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783), свыше 30 лет проработавший в России. Систематизацией уже имеющихся результатов, а также дальнейшим развитием теории занимались многие французские математики: Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1818), Пьер Лаплас(1749-1827), А.Лежандр (1752-1833), Ж.Фурье (1768-1830). К концу XVIII века был накоплен огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Многие понятия ученые воспринимали интуитивно.

Очевидные противоречия привели к критическому пересмотру в XIX веке существующих методов и четкому логическому построению математического анализа. Только в XIX веке были даны строгие определения функции, непрерывности, были уточнены понятия предельного перехода и основанные на нем понятия производной и интеграла. Современное понятие функции сформировалось в первой половине XIX века благодаря исследованиям таких выдающихся математиков, как Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Петер Дирихле (1805-1859) и др. Производная была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента (французский математик Огюстен Коши (1780-1856)), интеграл — как предельное значение интегральных сумм (немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866)). До сих пор математическое образование основывается на этих подходах, хотя в XX веке они получили значительное развитие. Тогда же вошли в употребление термины математика «элементарная» (математика, предшествовавшая рождению математического анализа) и «высшая» (начинается с понятий производной, предела и интеграла).

Одним из важнейших завоеваний математического анализа в XIX веке стало рождение теории аналитических функций и функций комплексного переменного. Следует упомянуть немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855), ставшего основателем теории функций комплексного переменного и определившего понятие предела, русских математиков Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1866), создателя конструктивной теории функций, Софью Васильевну Ковалевскую (1850-1891), немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943). Важнейшие труды, касающиеся стройного логического построения математического анализа, принадлежат немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815-1897), Юлиусу Дедекинду (1831-1916) и Георгу Кантору (1845-1918).

В XX веке, уже на новом уровне, происходит все большее слияние геометрии и математического анализа. Областью приложения анализа становятся кривые и поверхности, расположенные в многомерных пространствах с дополнительной алгебраической структурой. Исследования в области математического анализа продолжаются и в наши дни.

Теория пределов

Понятие предела — одно из основных понятий математического анализа, на котором базируются многие важные определения, в частности, определение производной. Истоки понятия предела следует искать в Древней Греции. Некоторым подобием предельного перехода был метод исчерпывания, изобретенный Евдоксом (ок. 408-355 до н.э.). В работах Архимеда (ок. 287-212 до н.э.) и Евклида (конец IV-III век до н.э.) этот метод дал поразительные результаты. В новое время идеи предела появляются у немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), итальянского математика Бонавентура Кавальери (1598-1647), английского математика Джона Валлиса (1616-1703).

Слово «лимит» (предел) произошло от латинского — «межа», «граница». Этим словом впервые воспользовался Исаак Ньютон. Однако исторически сложилось так, что точное определение такого ключевого понятия, как предел, и такого важного понятия, как непрерывность, вплоть до конца XVIII века отсутствовали. Соответственно, и многие математические рассуждения содержали пробелы, а иногда были даже ошибочны. Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Лагранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX века) называли непрерывной функцию, заданную на области определения одним аналитическим выражением.

Тем самым бурно развивающаяся «новая» математика XVII-XVIII века не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых еще со времен древних греков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логические основы.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы XIX века французским математиком Огюстеном Коши (1789-1857), предложившим точное определение пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа, в частности теоремы о пределах. Несколько раньше (в 1821 году) определение предела, непрерывности и ряд других замечательных результатов получил чешский математик Бернард Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. После лекций известного немецкого профессора Карла Вейерштрасса (1815-1897), которому принадлежит современное обозначение предела, определение предела по-Коши (на языке ) прочно вошло в обиход и используется нами по сей день.

Числовые последовательности

Числовая последовательность — это последовательность чисел. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Предел функции

Предел функции — это такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Непрерывность функции

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Дифференциальное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, в котором изучаются производные и их приложения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление было создано сравнительно недавно, в конце XVII века. К этому понятию одновременно в 70-х-80-х годах XVII века независимо друг от друга подошли два величайших человека своего времени: английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия были во многом определены великим открытием Ньютона и Лейбница.

Ньютон исходил из необходимости описывать движение тел и развитие различных процессов. Он мыслил как физик — кинематически. Для него суть дифференцирования -нахождение скорости тела в любой момент времени по известному пути. Свое открытие он сделал в 1665-1666 годах, когда Англию постигла эпидемия чумы, и Ньютон вынужден был находиться в своем поместье Вулсторп. Впоследствии он написал работу «Метод флюксий и бесконечных рядов», где метод флюксий — не что иное, как дифференцирование. Но эта работа была опубликована лишь в 1736 году. Сочинения Ньютона по математике увидели свет лишь в XVIII веке, однако кое-что было известно его коллегам из писем. Так, некоторые свои результаты в математическом анализе Ньютон сообщил Лейбницу в 1676 году, когда тот уже сам пришел к открытию дифференциального исчисления.

Подход Лейбница был геометрическим. На него большое впечатление произвели работы Паскаля, в особенности задачи о проведении касательной. В 1765 году им были сделаны первые шаги по созданию нового исчисления: в рукописях Лейбница появляются основные понятия, вводятся операции и символы. Именно Лейбниц ввел термин «дифференциальное исчисление», который с удивительной точностью описывает суть теории. по латыни — «разделение», «раздробление». Процесс дифференцирования состоит в замене функции на маленьком участке ее дифференциалом, т.е. кусочком ее касательной. Участку, на котором производится замена, Лейбниц дал название «бесконечно малый». Свои результаты Лейбниц опубликовал лишь в 1684 году в короткой статье из шести страниц «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». С этого момента начинается официальная история математического анализа.

Следует отметить, что в предыдущие полвека Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665) и другие ученые фактически дали правила разыскания производных многих функций. Ферма предложил правила нахождения экстремумов. Ньютон и Лейбниц завершили это развитие, они разработали аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов, применили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики.

Исследования Лейбница в значительной степени определили развитие методов анализа в Европе. Среди его последователей — братья Иоганн (1667-1748) и Якоб (1654— 1705) Бернулли, Пьер Вариньон и Гийом де Лопиталь (1661-1704). Именно Лопиталь в 1696 году стал автором первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Производная функции, нахождение производных различных функций

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл производной. Дифференциал функции

Геометрический смысл производной — это когда численно производная функция в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох.

Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя

Производные высших порядков — это если функция y=f(x)y=f(x) имеет производную в каждой точке xx своей области определения, то ее производнаяf′(x)f′(x) есть функция от xx. Функция y=f′(x)y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции y=f(x)y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x)f′′(x).

Дифференциалы высших порядков — это если функция y=f(x) зависит от переменной x и дифференцируема в точке x. Может оказаться, что в точке xдифференциал dy=f′(x)dx, рассматриваемый как функция от x, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала d(dy) данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции y=f(x).

Возрастание и убывание, экстремумы функций

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции — это называются значения функции в точках максимума и минимума.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Выпуклая функция — это функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, на график которой является выпуклым множеством.

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Общая схема исследования функции и построения графика

В данной лекции мы подведем итог всему ранее изученному материалу. Конечная цель нашего долгого пути — уметь исследовать любую аналитически заданную функцию и строить ее график. Важными звеньями нашего исследования будут исследование функции на экстремумы, определение интервалов монотонности, выпуклости и вогнутости графика, поиск точек перегиба, асимптот графика функции.

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Интегральное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, тесно связанный с дифференциальным исчислением. Интегральное исчисление возникло из потребностей создать общий метод нахождения площадей фигур и объемов тел.

Истоки интегрального исчисления следует искать в Древней Греции. Евдокс Книдский (ок. 408-355 до н.э.) создал метод исчерпывания, которым пользовался при вычислении площадей криволинейных фигур. Этот метод был усовершенствован Архимедом (ок. 287-212 до н.э.) и позволил ему найти объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Архимед предвосхитил многое идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исследования.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) правильно вычислил ряд площадей (криволинейную трапецию он представлял составленной из бесконечного числа вертикальных отрезков длиной ) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования продолжили итальянские математики Бонавентура Кавальери (1598-1647) и Эванджелиста Торричелли (1608-1647). Французский математик Пьер Ферма (1601-1665) уже в 1629 году умел находить площадь под кривой , т.е. по существу вывел формулу . Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Первым человеком, сумевшим обнаружить связь между вычислением площади под кривой и задачей о проведении касательной, был учитель Ньютона, английский математик Исаак Барроу (1630-1677). Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII века, исчисления еще не было. Нужно было выделить общие идеи, лежащие в основе многих частных задач, установить связь интегрирования и дифференцирования. Это сделали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, открывшие независимо друг от друга формулу, известную нам как формула Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно сформировался общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Термин «интегральное исчисление» возник в результате переписки Лейбница и И.Бернулли. Вероятно, оно происходит от лат. — «восстановление». Действительно, при интегрировании мы «восстанавливаем» функцию по известной производной. Существует и другая точка зрения. по-латыни — «целый», интегрирование — процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлена фигура (при нахождении площади, объема).

Методы математического анализа активно развивались в XVIII веке. В первую очередь следует назвать Леонарда Эйлера (1707-1783), завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций. Большое значение имели результаты русских ученых Пафнутия Львовича Чебышева (1828-1894), доказавшего, что существуют интегралы, невыразимые через элементарные функции, а также Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) и В.Я.Буняковского (1804-1889).

Строгое изложение теории интегралов появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именем Огюстена Коши (1789-1857). Теорию интегралов Коши обобщил крупнейший немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены создателями теории меры (обобщение понятие площади и объема) Камилем Жорданом (1838-1922) и Анри Лебегом (1875-1941).

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Основные методы интегрирования неопределённых интегралов

Непосредственное интегрирование — это метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Интегралы от некоторых сложных функций — это интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Метод интегрирования подстановкой — это метод заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Метод интегрирования по частям — это нахождение данного интеграла с помощью формулы интегрирования к нахождению другого интеграла. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подстановка

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение. , то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Иррациональная функция — это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Определенный интеграл

Определённый интеграл — это одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм).

Методы вычисления определенного интеграла

  1. Формула Ньютона – Лейбница
  2. Замена переменной в определенном интеграле
  3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Приложения определенного интеграла в геометрии

Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл — это определённый интеграл, если при решении выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком [a,+ ∞ ). Функция f(x) является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Функции нескольких действительных переменных. Предел и непрерывность

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Частные производные. Дифференциал функции нескольких действительных переменных

Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю. В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Дифференциалом функции — это сумму произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных.

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно запомнить, что величина dx не зависит от x , то есть относительно переменной дифференцирования является константой, поэтому при дифференцировании по x величину dx следует рассматривать как постоянный множитель.

Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.

Двойные интегралы и их свойства

Двойные интегралы — это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y).

Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей i и ii типа

Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.

Приложение двойного интеграла к вычислению объемов геометрических тел

  • Геометрический смысл двойного интеграла
  • Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла

Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

  • Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции.
  • Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Теория рядов

Ряд — это называемый также бесконечная сумма, одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел.

Определение числового ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Признаки сравнения, Даламбера, Коши и интегральных положительных рядов

Признак д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Признак Коши — признак сходимости числового ряда.

Рассмотренные достаточные признаки позволяют исследовать на сходимость фактически любой положительный числовой ряд. Только практика поможет приобрести необходимые навыки исследования и довести их до совершенства.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Знакочередующийся ряд — это математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков.

Признак Лейбница — это признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем.

Абсолютная и условная сходимость — это ряд с действительными или комплексными членами ∞∑n=1an, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∞∑n=1|an|,

Функциональные и степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

Функциональный ряд — это ряд, члены которого являются функциями одной или нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Степенной ряд — это функциональный ряд вида:

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца R.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд

Ряд Тейлора — это разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Маклорена — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

Ряды Фурье

Ряд Фурье — это представление функции f с периодом τ в виде ряда:

Дифференциальные уравнения

Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к необходимости введения такого понятия как дифференциальные уравнения. Поскольку в дифференциальных уравнениях присутствуют производные или дифференциалы функций, то первые дифференциальные уравнения появились в работах создателей интегрального и дифференциального исчисления Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Ньютон в 1687 году в своих «Началах» решил дифференциальное уравнение первого порядка.

Проблемой решения дифференциальных уравнений были заняты многие математики того времени. Особо следует отметить Иоганна (1667-1748) и Якоба (1654-1705) Бернулли, предложивших решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных. Но все применявшиеся ими методы по большинству были разрозненными, единой стройной теории дифференциальных уравнений не существовало.

Методическая разработка теории дифференциальных уравнений была начата известным математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). Вместе с ним большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли французские математики Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1813), Пьер Лаплас (1749-1827), немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Самое главное заключается в том, что решение подобных уравнений было необходимо для практических нужд, поскольку именно присутствующая в дифференциальных уравнениях производная описывает скорость изменения различных процессов. Некоторые виды дифференциальных уравнений появились при решении задач о колеблющихся струне и колеблющейся мембране. Даламбер сформулировал правила составления дифференциальных уравнений при движении материальных систем. Дифференциальные уравнения стали основой работ Леонарда Эйлера «Физическое исследование причины морских приливов и отливов», «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера», «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия».

Нельзя не сказать о вкладе французского математика Огюстена Коши (1789-1857) в теорию дифференциальных уравнений. Он впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Известными авторами фундаментальных трудов по дифференциальным уравнениям являются французкий математик Жак Адамар (1865-1963), российские математики Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937 г.), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).

Кстати тут дополнительная теория из учебников по высшей математике

Дифференциальные уравнения, основные понятия

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение вида:

называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Оно содержит известную функцию F, независимую переменную x, её функцию y и производные (или дифференциалы) функции y(x).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка — это уравнение вида F (x; y ; y’ ; y») =0

Основы теории комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения. В середине XVI века итальянские математики Никколо Тарталья (1499-1557) и Джероламо Кардано (1501-1576) представили миру способ решения уравнения третьей степени. Но один из возможных случаев так и остался для них загадкой. Оказалось, что при выполнении вспомогательных действий рассматриваемая система нс имела решений, а исходное уравнение имело действительный корень. На это загадочное явление впервые пролил свет другой итальянский математик Рафаэле Бомбелли (1526-1572).

Бомбелли первым ввел в алгебру мнимые величины. Квадратный корень из отрицательного числа, как заметил Бомбелли, нс может быть ни положительным, ни отрицательным числом. Он предложил назвать эти новые «софистические» числа «плюсом из минуса» , когда их нужно складывать, и «минусом из минуса » . когда их нужно вычитать. И тогда у любого кубического уравнения прекрасно отыскивались корни! С этого момента комплексные числа уже нельзя было игнорировать. Бомбелли в своей «Алгебре» (1560, издана 1572) дал первое формальное обоснование действию над комплексными числами. Определение мнимой единицы, данное Бомбелли, за прошедшие 400 лет по свой сути нс изменилось, а арифметические действия с ней производятся именно так, как это делала Бомбелли в XVI веке.

Мнимые числа, введенные Бомбелли, более двух столетий воспринимались лишь как удобные символы. Математики применяли их только в промежуточных выкладках, но для результата использовали лишь «настоящие» — действительные числа. Лейбниц в 1702 году писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием». Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине XVIII века русский математик Леонард Эйлер (1707-1783) — один из величайших математиков всех времен и народов. Именно он предложил современное обозначение мнимой единицы — .

Комплексные числа не были в достаточной мере востребованы математиками еще и потому, что очень трудно было их представить. Наглядно представить мнимые числа попытался еще в XVII веке английский ученый Джон Валлис (1616-1703), но эти попытки были нс слишком удачные. В 1799 году датский математик — землемер Каспар Вессель (1745-1818) предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной, поскольку Вессель не имел контактов с научными кругами своего времени. Лишь через три десятка лет немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выпустил в свет свой труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление комплексных чисел, как и Вессель. Именно после опубликования этой работы в 1831 году геометрическое изображение комплексных чисел получило широкую известность и признание. Идея Веселя и Гаусса настолько прозрачна, что остается только удивляться, почему никто из ученых не додумался до нее раньше.

Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа — это запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^<2>=-1 . Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = z. Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = z .

Геометрическая интерпретация комплексных чисел — это kюбое комплексное число которое можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей: действительная ось (соответствует оси абсцисс); мнимая ось (соответствует оси ординат).

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа — это запись z = r (cos φ + i sin φ) где r=√(x²+y²) — модуль комплексного числа z.

Показательная форма комплексного числа — это выражение z=re ^ i φ где r=|z|=√(x²+y²) — модуль комплексного числа, e^i φ — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Переход между различными формами комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения задач, поэтому вы можете перевести комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от поставленной задачи.

Численные методы

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, матриц, числовых таблиц. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

Приближенные величины. Действия с приближенными числами

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

  • Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.
  • Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решения уравнений находится приближённо в следующей последовательности:

  • отделение (локализация) корня;
  • приближённое вычисление корня до заданной точности.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод Эйлера — это простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник статьи: http://lfirmal.com/predmet-vysshaya-matematika/

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Для тех, кто подзабыл матешу

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

  1. Взять все числа от 5 до 15 (снизу и сверху знака Σ).
  2. С каждым из этих чисел сделать то, что написано справа от Σ, — то есть умножить на два.
  3. Сложить результаты этих операций.

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Источник статьи: http://thecode.media/evil-math/

Понравилась статья? Поделить с друзьями: